1: Xét ΔAEH vuông tại E và ΔADC vuông tại D có
\(\widehat{EAH}\) chung
Do đó: ΔAEH~ΔADC
=>\(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AC}\)
=>\(\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AD}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AD\cdot AH\)
2: Xét ΔAED và ΔAHC có
\(\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AD}{AC}\)
\(\widehat{EAD}\) chung
Do đó: ΔAED~ΔAHC
3: Xét ΔAFH vuông tại Fvà ΔADB vuông tại D có
\(\widehat{FAH}\) chung
Do đó: ΔAFH~ΔADB
=>\(\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}\)
=>\(\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AD}{AB}\)
Xét ΔAFD và ΔAHB có
\(\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AD}{AB}\)
\(\widehat{FAD}\) chung
Do đó: ΔAFD~ΔAHB
4: Ta có: ΔAFD~ΔAHB
=>\(\widehat{ADF}=\widehat{ABH}\)
Ta có: ΔAED~ΔAHC
=>\(\widehat{ADE}=\widehat{ACH}\)
mà \(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\left(=90^0-\widehat{BAE}\right)\)
nên \(\widehat{ADF}=\widehat{ADE}\)
=>DA là phân giác của góc FDE
Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BFHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CEHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{DFH}=\widehat{DBH}\)(BFHD nội tiếp)
\(\widehat{EFH}=\widehat{EAH}\)(AEHF nội tiếp)
mà \(\widehat{DBH}=\widehat{EAH}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)
nên \(\widehat{DFH}=\widehat{EFH}\)
=>FH là phân giác của góc EFD
Xét ΔEFD có
FH,DH là các đường phân giác
Do đó: H là giao điểm của 3 đường phân giác trong ΔEFD
