Question

cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Kẻ tiếp tuyến thuộc \(\left(O\right)\) song song với AB, AC, BC tạo ra 3 tam giác có diện tích lần lượt là \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\). Đặt \(S_{ABC}=S\). Tìm điều kiện của tam giác ABC để \(\dfrac{S_1+S_2+S_3}{S}\) đạt

Answer 1

Xét tiếp tuyến MN//BC, M thuộc AB và N thuộc AC

ΔAMN đồng dạng với ΔABC

=>S1/S2=(h1/ha)^2, h1,ha lần lượt là chiều cao của ΔAMN ứng với cạnh MN, ha=d(A;BC)

h1=ha-2r

=>S1/S=(ha-2r/ha)^2=(1-2r/ha)^2

a*ha/2=r*p, p=1/2(a+b+c)

=>2r=a*ha/p

=>S1/S=(1-a/p)2

=>căn S1/S=1-a/p

=>căn S1/S+căn S2/S+căn S3/S=3-2=1

1=(căn S1/S*1+căn S2/S*1+căn S3/S*1)^2<=3(S1/S+S2/S+S3/S)

=>P>=1/3

Dấu = xảy ra khi 1-a/p=1-b/p=1-c/p

=>a=b=c

=>ΔABC đều