Question

cho tam giác ABC bất kì , gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CA . H,H' lần lượt là trực tâm của tam giác ABC,MNP. .Khẳng định nào sau đây đúng?

A) vecto HA + vecto HB + vecto HC = 3vecto HH'

B) vecto HA + vecto HB + vecto HC = 2vecto HH'

C) vecto HA + vecto HB + vecto HC = vecto 0

D) vecto HM + vecto HN + vecto HP = 3vecto HH'

Answer 1

Lời giải:

Có thể loại ngay đáp án C vì nếu $H\equiv G$( $G$ là trọng tâm $ABC$) thì ta mới có công thức trên.

$\overrightarrow{HM}+\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{HP}=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{HM}+2\overrightarrow{HN}+2\overrightarrow{HP})$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BM})+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AP})$

$=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{HA}+2\overrightarrow{HB}+2\overrightarrow{HC})=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$ nên 2 phương án A, D tương đương nhau.

Do đó có thể suy ra đáp án B là đáp án đúng.

 

Answer 2

Nếu bạn muốn chứng minh hẳn tại sao đáp án B đúng thì có thể làm như sau:

Dễ thấy $\triangle ABC\sim \triangle NPM$ theo tỷ lệ $2$

Mà $H, H'$ lần lượt là trực tâm 2 tam giác trên

$\Rightarrow \frac{CH}{MH'}=2$

$\Leftrightarrow CH=2MH'(1)$

Mặt khác: $CH\perp AB; MH'\perp PN; AB\parallel PN$ nên $MH'\parallel CH(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow 2\overrightarrow{H'M}=\overrightarrow{CH}$

Từ đây ta có:

$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{H'A}+\overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{H'B}+\overrightarrow{HC}$

$=2\overrightarrow{HH'}+(\overrightarrow{H'A}+\overrightarrow{H'B})+\overrightarrow{HC}$

$=2\overrightarrow{HH'}+(\overrightarrow{H'A}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{H'B}+\overrightarrow{BM})+\overrightarrow{HC}$

$=2\overrightarrow{HH'}+(\overrightarrow{H'M}+\overrightarrow{H'M})+\overrightarrow{HC}$

$=2\overrightarrow{HH'}+2\overrightarrow{H'M}+\overrightarrow{HC}$

$=2\overrightarrow{HH'}+\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{HC}$

$=2\overrightarrow{HH'}$

Vậy đáp án B đúng.