phương trình : \(x^2\)+px+q=0
giả sử phương trình này có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia :\(x_1\)=2.\(x_2\)
áp dụng hệ thức vi ét và kết hợp điều kiện trên ta có:
\(\begin{cases}x_1=2x_2\\x_1+x_2=-p\\x_1.x_2=q\end{cases}\)<=>\(\begin{cases}x_1=2x_2\\2x_2+x_2=-p\\x_1.x_2=q\end{cases}\)<=>\(\begin{cases}x_1=2x_2\\3.x_2=-p\\x_1.x_2=q\end{cases}\)<=>\(\begin{cases}x_1=2x_2\\x_2=\frac{-p}{3}\\x_1.x_2=q\end{cases}\)
<=>\(\begin{cases}x_1=\frac{-2p}{3}_{ }\\x_2=\frac{-p}{3}\\x_1.x_2=q\end{cases}\) thay \(x_1\)=\(\frac{-2p}{3}\);\(x_2\)=\(\frac{-p}{3}\) vào phương trình \(x_1\).\(x_2\)=q ta có:
\(\frac{-2p}{3}\).\(\frac{-p}{3}\)=q <=> 2\(p^2\)-9q=0
vậy khi 2\(p^2\)-9p=0 thì phương trình trên có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
