Question

Cho pt: \(x^2-(m+2)x+2m=0 \) (1)

Tìm giá trị của m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}\),\(x_{2}\) thỏa mãn

\(x_{1}^2+x_{2}^2\) ≤ 16

Answer 1

\(x^2-\left(m+2\right)x+2m=0\)   (1)

Ta có: \(\Delta=\left(m+2\right)^2-8m=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\Leftrightarrow m-2\ne0\Leftrightarrow m\ne2\)

Khi đó, theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)

Để \(x_1^2+x_2^2\le16\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-16\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2.2m-16\le0\)

\(\Leftrightarrow m^2-12\le0\Leftrightarrow-2\sqrt{3}\le m\le2\sqrt{3}\)

Kết hợp điều kiện ta được các giá trị cần tìm là \(-2\sqrt{3}\le m\le2\sqrt{3},m\ne2\)