a: \(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(2m-13\right)\)
\(=\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-13\right)\)
\(=4m^2+8m+4-8m+52=4m^2+56>0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-13\end{matrix}\right.\)
Theo đề, ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1+3x_2=2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2-x_1-3x_2=2m+2-2\\x_1+3x_2=2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x_2=2m\\x_1=2-3x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=-m\\x_1=2+3m\end{matrix}\right.\)
\(x_1\cdot x_2=2m-13\)
=>\(-m\left(3m+2\right)=2m-13\)
=>\(m\left(3m+2\right)=-2m+13\)
=>\(3m^2+2m+2m-13=0\)
=>\(3m^2+4m-13=0\)
=>\(m=\dfrac{-2\pm\sqrt{43}}{3}\)
b: \(A=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{2m+2}{2m-13}\)
Để A là số nguyên thì \(2m+2⋮2m-13\)
=>\(2m-13+15⋮2m-13\)
=>\(15⋮2m-13\)
=>\(2m-13\in\left\{1;-1;3;-3;5;-5;15;-15\right\}\)
=>\(2m\in\left\{14;12;16;10;18;8;28;-2\right\}\)
=>\(m\in\left\{7;6;8;5;9;4;14;-1\right\}\)
c: Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a*c<0
=>1(2m-13)<0
=>2m-13<0
=>2m<13
=>\(m< \dfrac{13}{2}\)(1)
Để nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương thì x1+x2<0
=>2(m+1)<0
=>m<-1(2)
Từ (1),(2) suy ra m<-1
d: Để phương trình (1) có một nghiệm bé hơn 2, một nghiệm lớn hơn 2 thì \(\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)< 0\)
=>\(x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4< 0\)
=>\(2m-13-2\left[2\left(m+1\right)\right]+4< 0\)
=>\(2m-9-4\left(m+1\right)< 0\)
=>2m-9-4m-4<0
=>-2m-13<0
=>2m+13>0
=>\(m>-\dfrac{13}{2}\)
