b: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp đường tròn
AB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C
Xét ΔABC có
O là trung điểm của AB
E là trung điểm của BC
Do đó: OE là đường trung bình của ΔBAC
Suy ra: OE\(\perp\)CB
a) Xét đường tròn (O) có AB là đường kính và △ ABC nội tiếp đường tròn (O)
⇒ \(\widehat{ACB}=90^0\) hay △ ABC vuông tại C.
Có: OC = OB (do cùng bằng bán kính), suy ra O cách đều hai điểm C và B,
⇒ O nằm trên trung trực của BC.
Có EC = EB (do E là trung điểm của BC), suy ra E cách đều hai điểm B và C
⇒ E nằm trên trung trực của BC.
Ta có E và O đều nằm trên đường trung trực của đoạn BC
⇒ OE là trung trực của đoạn BC.
⇒ OE ⊥ BC (đpcm)
b) Vì tiếp tuyến tại C của (O) cắt OE ở D nên ta có D nằm trên EO, suy ra D nằm trên đường trung trực của BC ⇒ DB = DC (tính chất đường trung trực)
Xét ΔCOD và ΔBOD có:
OC = OB (do cùng là bán kính của đường tròn)
OD chung
DB = DC (cmt)
⇒ ΔCOD = ΔBOD ( c − c − c )
⇒ \(\widehat{OCD}=\widehat{OBD}=90^0\)
⇒ BD ⊥ OB
Suy ra DB là tiếp tuyến của (O) (đpcm).
c)Vì DB là tiếp tuyến của (O) (cmt)
⇒ \(\widehat{OBD}=90^0\) ⇒ \(\widehat{CBO}+\widehat{CBD}=90^0\) \(\left(1\right)\)
Vì OD là trung trực của BC (cmt)
⇒ OD ⊥ BC ⇒ \(\widehat{DEB}=90^0\)⇒ \(\widehat{ODB}+\widehat{CBD}=90^0\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ⇒ \(\widehat{CBO}=\widehat{ODB}\) ( cùng phụ với \(\widehat{DBC}\) )
Xét △ ODB và △ CBH có:
\(\widehat{CHB}=\widehat{OBD}=90^0\)
\(\widehat{CBO}=\widehat{ODB}\) ( cmt )
⇒ △ ODB \(\approx\) △ CBH ( g − g )
⇒ \(\dfrac{OB}{CH}=\dfrac{OD}{BC}\)
⇒ OB . BC = OD . CH
⇒ △ ODB ∼ △ CBH ( g − g )
Mà có OB = OC (do cùng là bán kính của đường tròn)
Suy ra: CB.OC=OD.HC (đpcm)
c: Xét ΔDEB vuông tại E và ΔDEC vuông tại E có
DE chung
BE=CE
Do đó: ΔDEB=ΔDEC
Suy ra: DB=DC
Xét ΔDCO và ΔDBO có
DC=DB
DO chung
OC=OB
Do đó:ΔDCO=ΔDBO
Suy ra: \(\widehat{OCD}=\widehat{OBD}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{OBD}=90^0\)
hay DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm
