Question

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a tâm O, hai điểm di động M,N lần lượt trên hai cạnh BC, CD sao cho góc MAN= 45 độ. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, D trên AM, AN

a). Chứng minh tg ABHO, ADKO nội tiếp khi BM= DN= \(\dfrac{a}{3}\)

b) Chứng minh \(\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AK}{AM}\)

Answer 1

Chi tiết \(BM=DN=\dfrac{a}{3}\) hoàn toàn không cần thiết

a.

Ta có: \(AC\perp BD\) tại O (2 đường chéo hình vuông) \(\Rightarrow O\) thuộc đường tròn đường kính AB

\(AH\perp BH\) (gt) \(\Rightarrow\) H thuộc đường tròn đường kính AB

\(\Rightarrow\) 4 điểm A,B,O,H cùng thuộc đường tròn đường kính AB hay tứ giác ABHO nội tiếp

Hoàn toàn tương tự, 4 điểm ADKO cùng thuộc đường tròn đường kính AD nên tứ giác ADKO nội tiếp

b.

Trong tam giác vuông ABM vuông tại B với đường cao BH, áp dụng hệ thức lượng:

\(AB^2=AH.AM\)

Tương tự, trong tam giác vuông ADN:

\(AD^2=AK.AN\)

Mà \(AB=AD=a\Rightarrow AH.AM=AK.AN\Rightarrow\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AK}{AM}\) (đpcm)

Answer 2