Question

 

Cho hình thang cân ABCD có AB//CD và AB<CD. Gọi O là giao điểm của AD và BC, E là giao điểm của AC và BD

a) Chứng minh ΔOAB cân tại O

b) Chứng minh ΔABD=ΔBAC

c) Chứng minh EC=ED

d) O, E và trung điểm của DC thẳng hàng

Answer 1

a: góc OAB=góc ODC

góc OBA=góc BCD

mà góc ODC=góc BCD

nên góc OAB=góc OBA

=>ΔOBA cân tại O

b: Xét ΔABD và ΔBAC có

BA chung

BD=AC

AD=BC

=>ΔABD=ΔBAC

c: ΔABD=ΔBAC

=>góc ABD=góc BAC

=>EA=EB

=>EC=ED

d: OA+AD=OD

OB+BC=OC

mà OA=OB và AD=BC

nên OD=OC

=>OE là trung trực của DC

=>O,E,trung điểm của DC thẳng hàng

Answer 2

a) Chứng minh ΔOAB cân tại O:

Vì AB//CD, ta có ∠ABO = ∠CDO (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AB và CD).

Tương tự, vì AB//CD, ta có ∠BAO = ∠DCO (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AD và BC).

Do đó, ΔOAB có hai góc bằng nhau với ΔCDO, nên ΔOAB cân tại O.

b) Chứng minh ΔABD = ΔBAC:

Vì AB//CD, ta có ∠ABD = ∠BAC (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AB và CD).

Tương tự, vì AB//CD, ta có ∠ADB = ∠CBA (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AD và BC).

Do đó, ΔABD có hai góc bằng nhau với ΔBAC, nên ΔABD = ΔBAC.

c) Chứng minh EC = ED:

Vì AC là đường chéo của hình thang ABCD, nên AC chia BD thành hai đoạn bằng nhau.

Do đó, AE = CE và DE = BE.

Vì ΔAEB và ΔCEB có hai cạnh bằng nhau (AE = CE và BE = DE) và góc AEB = góc CEB (do AB//CD), nên ΔAEB = ΔCEB.

Từ đó, ta có EC = ED.

d) Chứng minh O, E và trung điểm của DC thẳng hàng:

Gọi F là trung điểm của DC. Ta cần chứng minh OF//AB.

Vì F là trung điểm của DC, nên DF = FC.

Vì AB//CD, ta có ∠FDC = ∠BAC (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AD và BC).

Tương tự, vì AB//CD, ta có ∠FCD = ∠CBA (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AD và BC).

Do đó, ΔFDC có hai góc bằng nhau với ΔBAC, nên ΔFDC = ΔBAC.

Từ đó, ta có OF//AB.

Vậy, O, E và trung điểm của DC thẳng hàng.