a.
Gọi D là trung điểm BC, từ A kẻ \(AE\perp A'D\)
\(\Rightarrow AD\perp BC\)
\(A'A\perp\left(ABC\right)\Rightarrow A'A\perp BC\)
\(\Rightarrow BC\perp\left(A'AD\right)\Rightarrow BC\perp AE\)
\(\Rightarrow AE\perp\left(A'BC\right)\Rightarrow AE=d\left(A;\left(A'BC\right)\right)\)
\(AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)
Hệ thức lượng: \(AE=\dfrac{A'A.AD}{\sqrt{A'A^2+AD^2}}=\dfrac{3a}{4}\)
b.
Gọi F là giao điểm AC' và A'C. Do ACC'A' là hình chữ nhật \(\Rightarrow O\) là trung điểm AC'
\(\Rightarrow OA=OC'\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}C'M\cap\left(A'BC\right)=C\\C'C=2MC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(M;\left(A'BC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(C';\left(A'BC\right)\right)\)
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}AC'\cap\left(A'BC\right)=O\\OA=OC'\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(A;\left(A'BC\right)\right)=d\left(C';\left(A'BC\right)\right)\)
\(\Rightarrow d\left(M;\left(A'BC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(A'BC\right)\right)=\dfrac{3a}{8}\)
