Question

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC đều cạnh a . Gọi I là trung điểm AB , hình chiếu của điểm A' lên (ABC ) là trung điểm H của đoạn CI , góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABC ) bằng 45 độ. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A A' và CI

Answer 1

Qua A kẻ đường thẳng song song CI cắt BC kéo dài tại D

\(\Rightarrow CI||\left(A'AD\right)\Rightarrow d\left(A'A;CI\right)=d\left(CI;\left(A'AD\right)\right)=d\left(H;\left(A'AD\right)\right)\)

Từ H kẻ \(HE\perp AD\), từ H kẻ \(HF\perp A'E\)

\(\Rightarrow HF\perp\left(A'AD\right)\Rightarrow HF=d\left(H;\left(A'AD\right)\right)\)

Tứ giác AIHE là hình chữ nhật (3 góc vuông) \(\Rightarrow HE=AI=\dfrac{a}{2}\)

\(A'H\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{A'AH}\) là góc giữa \(A'A\) là (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{A'AH}=45^0\)

\(CI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều) \(\Rightarrow IH=\dfrac{1}{2}CI=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{AI^2+IH^2}=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}\)

\(\Rightarrow A'H=AH.tan45^0=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}\)

Hệ thức lượng:

\(HF=\dfrac{HE.A'H}{\sqrt{HE^2+A'H^2}}=\dfrac{a\sqrt{77}}{22}\)

Answer 2