Question

Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chũ nhật, AB= `sqrt6` , AD = `sqrt3` , A'C= 3 và (ACC'A') vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa 2 mặt phẳng (ACC'A') và (ADD'A') là `alpha` thỏa mãn `tan alpha =3/2` . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'

Em tính ra `V=8` không biết đúng không

Answer 1

Kẻ \(A'H\perp AC\Rightarrow A'H\perp\left(ABCD\right)\)

Kẻ \(HF\perp A'A\), trong mp (ABCD) qua H kẻ đường thẳng vuông góc AC cắt AD kéo dài tại E

\(\Rightarrow A'A\perp\left(EFH\right)\Rightarrow\widehat{EFH}\) là góc giữa (ACC'A') và (ADD'A')

\(\Rightarrow tan\widehat{EFH}=\dfrac{EH}{FH}=\dfrac{3}{2}\) (1)

Hai tam giác vuông AHE và ADC đồng dạng (chung góc A) 

\(\Rightarrow\dfrac{HE}{CD}=\dfrac{AH}{AD}\Rightarrow\dfrac{EH}{AH}=\dfrac{CD}{AD}=\sqrt{2}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\dfrac{FH}{AH}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=sin\widehat{A'AH}\)

\(AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=3=A'C\Rightarrow\Delta A'AC\) cân tại C

Gọi M là trung điểm \(A'A\Rightarrow CM\perp A'A\Rightarrow CM||FH\)

\(\Rightarrow\dfrac{CM}{AC}=\dfrac{FH}{AH}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow CM=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AM=\sqrt{AC^2-CM^2}=1\Rightarrow A'A=2\)

\(\Rightarrow A'H=A'A.sin\widehat{A'AH}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\)

\(\Rightarrow V=A'H.AB.AD=8\)

Answer 2