Question

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A B = a ,   A D = 2 a ,   A A ’ = 3 a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, C’D’ và DD’. Tính khoảng cách từ A đến mp(MNP).

A. 15 22 a

B. 9 11 a

C. 3 4 a

D. 15 11 a

Answer 1

Đáp án D

Gọi E là giao điểm của NP và CD. Gọi G là giao điểm của NP và CC’. Gọi K là giao điểm của MG và B’C’. Gọi Q là giao điểm của ME và AD. Khi đó mặt phẳng (MNP) chính là mặt phẳng (MEG). Gọi d 1 ,   d 2  lần lượt là khoảng cách từ C, A đến mặt phẳng (MEG). Do AC cắt (MEG) tại điểm H (như hình vẽ) nên d 1 d 2 = H C H A . Do tứ diện CMEG là tứ diện vuông tại C nên

1 d 1 2 = 1 C M 2 + 1 C E 2 + 1 C G 2

Ta có G C ' G C = C ' N C E = 1 3  

 

Suy ra G C = 3 2 C C ' = 9 a 2  

Như vậy: 1 d 1 2 = 1 a 2 + 4 9 a 2 + 4 81 a 2  

Từ đó d 1 2 = 81 a 2 12 ⇒ d 1 = 9 11 . Ta có Q D M C = E D E C = 1 3 ⇒ Q D = a 3  

Ta có Δ H C M đồng dạng với Δ H A Q  nên:

H C H A = M C A Q = a 2 a − a 3 = 3 5 ⇒ d 1 d 2 = 3 5 ⇒ d 2 = 5 3 d 1 = 5.9 a 3.11 = 15 a 11