Question

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD).
1) Chứng minh: tam giac HAD đồng dạng với tam giac  ABD
2) Chứng minh: BC^2 = DB.HD

3) Tia phân giác của góc ADB cắt AH và AB lần lượt tại M và K. Chứng minh: AK.AM = BK.HM
4) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy P thuộc AC, dựng hình chữ nhật AEPF (E thuộc AB, F thuộc AD). BF cắt DE ở Q. Chứng minh:
a) EF // DB  b) Ba điểm A, Q, O thẳng hàng

Answer 1

1: XétΔHAD vuông tại H và ΔABD vuông tại A có

\(\widehat{ADB}\) chung

Do đó: ΔHAD~ΔABD

2: Ta có:ΔHAD~ΔABD

=>\(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{HD}{AD}\)

=>\(\dfrac{AD}{DH}=\dfrac{BD}{AD}\left(2\right)\)

=>\(AD^2=DH\cdot DB\)

mà AD=BC

nên \(BC^2=DH\cdot DB\)

3: Xét ΔDAH có DM là phân giác

nên \(\dfrac{AM}{MH}=\dfrac{AD}{DH}\)(1)

Xét ΔDAB có DK là phân giác

nên \(\dfrac{BK}{AK}=\dfrac{BD}{AD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{AM}{MH}=\dfrac{BK}{AK}\)

=>\(AM\cdot AK=MH\cdot BK\)