Câu hỏi của Nguyễn Minh Khuê

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ANCD là hình vuông với AB = 2a. Tam giác SAB vuông tại S, mp(SAB) $\perp$ mp(ABCD). Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mp(SBC) bằng $\varphi$ với $\sin\varphi=\frac{1}{3}$. Tính V_S.ABCD và khoảng cách từ C đến (SBD) theo a.

Trần Thị Bảo Trân · Accepted Answer

$\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right),BC\perp AB$   $\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SA$, mà $SA\perp SB\Rightarrow SA\perp\left(SBC\right)$.Gọi $d$ là khoảng cách từ $D$ đến $\left(SBC\right)$$\Rightarrow d=SD.\sin\varphi=\frac{SD}{3}$Mặt khác: $AD$//$\left(SBC\right)$ $\Rightarrow d\left(D,\left(SBC\right)\right)=D\left(A,\left(SBC\right)\right)\Rightarrow d=SA\Rightarrow SA=\frac{SD}{3}$Do $AD$//$BC$$\Rightarrow AD$ v/góc $SA$. Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $AD=2a$ và $SA^2+AD^2=SD^2\Leftrightarrow SA^2+4a^2=9SA^2\Leftrightarrow SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SB=\sqrt{AB^2-SA^2}=\sqrt{4a^2-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}$Kẻ $SH$ v/góc $AB$ tại $H\Rightarrow SH$ v/góc $\left(ABCD\right)$. Trong t/g/vuông $SAB$ có $SH=SH=\frac{SA.SB}{AB}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{14}}{2}}{2a}=\frac{a\sqrt{7}}{4}\Rightarrow V_{SABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{7}}{4}.4a^2$$=\frac{\sqrt{7.a^3}}{3};d\left(C,\left(SBD\right)\right)=\frac{3.V_{SBCD}}{S_{SBD}}\left(1\right);V_{SBCD}=\frac{1}{2}.V_{SABCD}=\frac{\sqrt{7.a^3}}{6};BD^2=\left(2a\sqrt{2}\right)^2$$SB^2+SD^2=\left(\frac{a\sqrt{14}}{2}\right)^2+\left(\frac{3a\sqrt{2}}{2}\right)^2=8a^2\Rightarrow$t/giác $SBD$ vuông tại $S$$S_{SBD}=\frac{1}{2}.SB.SD=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{14}}{2}.\frac{3a\sqrt{2}}{2}=\frac{3a^2.\sqrt{7}}{4}$Thay vào (1) ta được: $d\left(C,\left(SBD\right)\right)=\frac{2a}{3}$ Câu trả lời: $\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right),BC\perp AB$   $\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SA$, mà $SA\perp SB\Rightarrow SA\perp\left(SBC\right)$.Gọi $d$ là khoảng cách từ $D$ đến $\left(SBC\right)$$\Rightarrow d=SD.\sin\varphi=\frac{SD}{3}$Mặt khác: $AD$//$\left(SBC\right)$ $\Rightarrow d\left(D,\left(SBC\right)\right)=D\left(A,\left(SBC\right)\right)\Rightarrow d=SA\Rightarrow SA=\frac{SD}{3}$Do $AD$//$BC$$\Rightarrow AD$ v/góc $SA$. Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $AD=2a$ và $SA^2+AD^2=SD^2\Leftrightarrow SA^2+4a^2=9SA^2\Leftrightarrow SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SB=\sqrt{AB^2-SA^2}=\sqrt{4a^2-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}$Kẻ $SH$ v/góc $AB$ tại $H\Rightarrow SH$ v/góc $\left(ABCD\right)$. Trong t/g/vuông $SAB$ có $SH=SH=\frac{SA.SB}{AB}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{14}}{2}}{2a}=\frac{a\sqrt{7}}{4}\Rightarrow V_{SABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{7}}{4}.4a^2$$=\frac{\sqrt{7.a^3}}{3};d\left(C,\left(SBD\right)\right)=\frac{3.V_{SBCD}}{S_{SBD}}\left(1\right);V_{SBCD}=\frac{1}{2}.V_{SABCD}=\frac{\sqrt{7.a^3}}{6};BD^2=\left(2a\sqrt{2}\right)^2$$SB^2+SD^2=\left(\frac{a\sqrt{14}}{2}\right)^2+\left(\frac{3a\sqrt{2}}{2}\right)^2=8a^2\Rightarrow$t/giác $SBD$ vuông tại $S$$S_{SBD}=\frac{1}{2}.SB.SD=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{14}}{2}.\frac{3a\sqrt{2}}{2}=\frac{3a^2.\sqrt{7}}{4}$Thay vào (1) ta được: $d\left(C,\left(SBD\right)\right)=\frac{2a}{3}$