Question

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, A B = 3 a , B C = 4 a  và S A ⊥ A B C .  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng A B C  bằng 60 ° .  Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng

A. 10 3 a 79

B. 5 a 2

C. 5 3 a

D. 5 3 a 79

Answer 1

Đáp án A

Do S A ⊥ A B C  nên góc giữ SC và A B C  là góc S C A ^ = 60 °  

Vì Δ A B C  vuông tại B nên   A C = 5 a ⇒ S A = 5 a 3

Gọi N là trung điểm BC nên M N / / A B ⇒ A B / / S M N

  d A B , S M = d A B , S M N = d A , S M N .

Từ A kẻ đường thẳng song song vơi BC cắt MN tại D.

Do B C ⊥ A B ⇒ B C ⊥ M N ⇒ A D ⊥ M N .  

Từ A kẻ AH vuông góc vơi SD

Ta có   M D ⊥ A D M D ⊥ S A ⇒ M D ⊥ S A D ⇒ M D ⊥ A H

Mà A H ⊥ S D ⇒ A H ⊥ S M D  hay A H ⊥ s m n ⇒ d A , S M N = A H

Do A D = B N = 1 2 B C = 2 a .  

Xét Δ S A D có  1 A H 2 = 1 S A 2 + 1 A D 2 = 1 75 a 2 + 1 4 a 2 = 79 300 a 2

   ⇒ d A B , S M = A H = 10 237 a 79 = 10 3 a 79