Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB, góc A = \(60^o\). Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm BC, AD
a, Chứng minh AE⊥BF
b, Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao?
c, Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao?
d, Gọi M là điểm sao cho B là trung điểm của AM. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật
e, Chứng minh M, E, D thẳng hàng
a)
Ta có: E, F là trung điểm BC,AD(gt)
\(\rightarrow\) EF//AB//CD và EF=AB=CD(1)
mà BC=AD (ABCD là hbh)
\(\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AD\rightarrow AF=BE\)
lại có BC=2AB\(\rightarrow AF=BE=AB\) (2)
Từ (1)(2) \(\rightarrow AB=BE=EF=AF\) \(\rightarrow\) ABEF là hình thoi
\(\rightarrow AE\perp BF\) (T/c đường chéo hình thoi) (đpcm)
b) Ta có:
EF//CD và EF=CD (theo a)
\(\rightarrow\) ECDF là hbh
mà EF = AB;EC=AB=\(\dfrac{1}{2}BC\)
\(\rightarrow EF=EC\rightarrow\) ECDF là hình thoi
c) Xét hbh ABCD có:
\(\widehat{A}=60^o\rightarrow\widehat{D}=120^o\)
Xét hình thoi ECDF có:
ED là đường chéo
\(\widehat{FDE}=\dfrac{1}{2}\widehat{D}=\dfrac{1}{2}\cdot120^o=60^o\)
\(\rightarrow\widehat{A}=\widehat{FDE}\)
Xét tứ giác ABED có:
BE//AD
\(\widehat{A}=\widehat{FDE}\)
\(\rightarrow ABED\) là hình thang cân
d) Ta có: B là trung điểm AM
\(\rightarrow\) BM//CD và BM=CD
\(\rightarrow\) BMCD là hbh(3)
Xét tứ giác BFDE có:
BE//DF và BE=DF \(\rightarrow\) BFDE là hbh
mà BE=ED(=AB) \(\rightarrow\) BFDE là hình thoi
\(\rightarrow BD\perp EF\)
Xét \(\Delta FDE\) có:
FD=ED(=CD)
\(\widehat{FDE}=60^o\)
\(\rightarrow\Delta FDE\) đều
mà \(BD\perp EF\rightarrow\widehat{BFE}=30^o\)
\(\rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{BDE}+\widehat{EDC}=30^o+60^o=90^o\) (4)
Từ (3)(4) \(\rightarrow\) BMCD là hcn (đpcm)
e) Xét hcn BMCD có:
E là trung điểm BC
mà BC là đường chéo
\(\rightarrow\) E là trung điểm MD
\(\rightarrow\) M,E,D thẳng hàng (đpcm)
