Question

Cho hàm số \(y=x^3+\left(m^2+1\right)x+m^2-2\). Tìm số thực dương m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] bằng 2

Answer 1

\(y=x^3+\left(m^2+1\right)x+m^2-2\)

=>\(y'=3x^2+\left(m^2+1\right)\)

Đặt y'=0

=>\(3x^2+\left(m^2+1\right)=0\)

mà \(3x^2>=0\forall x;m^2+1>=1>0\forall m\)

nên \(x\in\varnothing\)

\(y\left(0\right)=0^3+\left(m^2+1\right)0+m^2-2=m^2-2\)

\(y\left(2\right)=2^3+2\left(m^2+1\right)+m^2-2=2m^2+2+m^2+6=3m^2+8\)

Để \(y_{min\left[0;2\right]}=2\) thì \(\left[{}\begin{matrix}m^2-2=2\\3m^2+8=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2=4\\3m^2=-6\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(m^2=4\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\left(nhận\right)\\m=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: m=2