Question

Cho hàm số y=(m² - 2m+3)x²

c/m hàm số đồng biến khi x>0

Answer 1

Lời giải:
Lấy $x_1>x_2>0\in\mathbb{R}$. Khi đó:

\(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{(m^2-2m+3)x_1^2-(m^2-2m+3)x_2^2}{x_1-x_2}=\frac{(m^2-2m+3)(x_1^2-x_2^2)}{x_1-x_2}\\ =\frac{(m^2-2m+3)(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1-x_2}=(m^2-2m+3)(x_1+x_2)\)

Với $x_1>x_2>0$ thì: $x_1+x_2>0$

$m^2-2m+3=(m^2-2m+1)+2=(m-1)^2+2\geq 2>0$ với mọi $m$

$\Rightarrow (m^2-2m+3)(x_1+x_2)>0$

$\Rightarrow \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$

Vậy với mọi $x_1>x_2>0$ thì $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$, tức là hàm số đồng biến khi $x>0$. (đpcm)