Theo đề bài ta có bất phương trình :
\(\left(5^x-5^m\right)\left(25.5^x-1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(5^x-5^m\right)\left(5^{x+2}-1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(5^x-5^m\right)< 0\\\left(5^{x+2}-1\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\cup\left\{{}\begin{matrix}\left(5^x-5^m\right)>0\\\left(5^{x+2}-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5^x< 5^m\\5^{x+2}>1=5^0\end{matrix}\right.\) \(\cup\left\{{}\begin{matrix}5^x>5^m\\5^{x+2}< 1=5^0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< m\\x+2>0\end{matrix}\right.\) \(\cup\left\{{}\begin{matrix}x>m\\x+2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-2< x< m\) \(\cup\) \(m< x< -2\left(VN.vì.m\in Z^+\right)\)
\(\Leftrightarrow-2< x< m\)
mà \(m\in[1;+\infty)\) và nghiệm \(x\in\left\{-1;0;...m-1\right\}\) nguyên không quá \(31\)
\(\Rightarrow m+1\le31\)
\(\Leftrightarrow m\le30\)
\(\Rightarrow m\in\left\{1;2;...30\right\}\left(m\in Z^+\right)\)
\(\Rightarrow\) Có \(30\) giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn
