Question

Cho các số thực x, y thoả mãn các điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0 và x² + y² = 1
Chứng minh \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ≤ x³ + y³ ≤ 1

Answer 1

Tham khảo nha 

Answer 2

Lời giải:
CM $x^3+y^3\leq 1$

$x^2+y^2=1$

$x^2=1-y^2\leq 1\Rightarrow -1\leq x\leq 1$. Mà $x\geq 0$ nên $0\leq x\leq 1$

Tương tự: $0\leq y\leq 1$

Do đó:
$x^3\leq x^2; y^3\leq y^2$

$\Rightarrow x^3+y^3\leq x^2+y^2=1$ (đpcm)

CM $x^3+y^3\geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
$2=(x^2+y^2)(1+1)\geq (x+y)^2\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}$

$(x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2=1$

$\Rightarrow x^3+y^3\geq \frac{1}{x+y}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (đpcm)

Vậy.........