Bài này người ta chế cháo kết hợp nhiều thứ quá, chẳng biết ai ra đề kiểu vậy nữa:
Với mọi x;y;z ta có:
\(\left(x-y-z\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz\ge0\)
\(\Leftrightarrow1+yz\ge xy+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+yz+x+1\ge xy+xz+x^2+x\)
\(\Leftrightarrow x^2+yz+x+1\ge x\left(x+y+z+1\right)\)
(Lưu ý về mặt dấu "=": đến đây thì dấu "=" xảy ra khi \(x-y-z=0\Rightarrow x=y+z\))
\(\Rightarrow x\left(x^2+yz+x+1\right)\ge x^2\left(x+y+z+1\right)\)
(Nhưng đến đây, khi nhân x cho 2 vế, thì nó nảy sinh thêm 1 dấu = nữa, đó là tại \(x=0\), tức là dấu "=" có thể xảy ra khi \(x=0\) hoặc \(x=y+z\))
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{x^2+yz+x+1}\le\dfrac{x}{x+y+z+1}\)
\(\Rightarrow M\le\dfrac{x+y+z}{x+y+z+1}+\dfrac{1}{xyz+3}=1-\dfrac{1}{x+y+z+1}+\dfrac{1}{xyz+3}\)
\(\Rightarrow M\le1+\left(\dfrac{1}{xyz+3}-\dfrac{1}{x+y+z+1}\right)\)
Xét \(N=\dfrac{1}{xyz+3}-\dfrac{1}{x+y+z+1}=\dfrac{x+y+z-xyz-2}{\left(x+y+z+1\right)\left(xyz+3\right)}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(x+y+z-xyz=1.\left(x+y\right)+\left(1-xy\right).z\le\sqrt{\left[1+\left(1-xy\right)^2\right]\left[\left(x+y\right)^2+z^2\right]}\)
\(=\sqrt{\left(x^2y^2-2xy+2\right)\left(2+2xy\right)}\)
Do \(xy\le\dfrac{x^2+y^2}{2}\le\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}=1\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x^2y^2-2xy+2\right)\left(2+2xy\right)}=\sqrt{4-2\left(1-xy\right)x^2y^2}\le\sqrt{4}=2\)
(Để ý dấu "=" ở đây, nó vẫn xảy ra trong 2 trường hợp \(xy=1\) hoặc \(xy=0\))
\(\Rightarrow x+y+z-xyz\le2\Rightarrow x+y+z-xyz-2\le0\)
\(\Rightarrow N\le0\)
\(\Rightarrow M\le1\)
Vậy \(M_{max}=1\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị
