Question

Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh:

\(\dfrac{xy}{x^5+xy+y^5}+\dfrac{yz}{y^5+yz+z^5}+\dfrac{zx}{z^5+zx+x^5}\le1\)

Answer 1

Ta có:

\(x^5+y^5=\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)-x^2y^2\left(x+y\right)\)

\(\ge xy\left(x+y\right).2xy-x^2y^2\left(x+y\right)=x^2y^2\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{xy}{x^5+y^5+xy}\le\dfrac{xy}{x^2y^2\left(x+y\right)+xy}=\dfrac{xyz.z}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)+xyz.z}=\dfrac{z}{x+y+z}\)

TƯơng tự:

\(\dfrac{yz}{y^5+yz+z^5}\le\dfrac{x}{x+y+z}\) ; \(\dfrac{zx}{z^5+zx+x^5}\le\dfrac{y}{x+y+z}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm