Question

Cho các số dương a, b, c, d có tích bằng 1

CMR: \(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge6\)

Answer 1

Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

TT\(\Rightarrow c^2+d^2\ge2cd\)

BĐT\(\Leftrightarrow3ab+3cd\ge6\)

\(\Leftrightarrow ab+cd\ge2\)

Lại có \(ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Answer 2

Áp dụng bất đẳng thức: \(x^2+y^2\ge2xy\) ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge2ab+2bc+ab+cd=3\left(ab+cd\right)\)Mặt khác: \(3\left(ab+cd\right)=3\left(ab+\frac{abcd}{ab}\right)=3\left(ab+\frac{1}{cd}\right)\ge3.2=6\) \(\left(BĐT:\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\right)\)

Vậy \(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge6\)(đpcm)