Question

Cho a, b là các số dương thỏa mãn \(a^3+b^3=a^5+b^5\)

CMR: \(a^2+b^2\le1+ab\)

Answer 1

\(a^2+b^2\le1+ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\le a+b\left(a+b>0\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\le a+b\)

\(\Leftrightarrow a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)\le0\)

Lại có:\(a^3+b^3=a^5+b^5\)

\(\Rightarrow a^3\left(a^2-1\right)+b^3\left(b^2-1\right)=0\)

Ta có: \(a^3\left(a^2-1\right)-a\left(a^2-1\right)+b^3\left(b^2-1\right)-b\left(b^2-1\right)\)

\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)\le0\Rightarrowđpcm\)