Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Lan Anh

cho tứ giác ABCD có AB=a; BC=b; CD=c; DA=d (a,b,c,d > 0 thỏa \(a^2+b^2+c^2+d^2=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

a) tứ giác ABCD có gì đặc biệt?

b) nếu cho thêm giả thiết AC*BD=ab+cd khi đó tính các góc của ABCD

Xuân Tuấn Trịnh
7 tháng 5 2017 lúc 14:57

A B C D O

a)Do a,b,c,d>0

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương:

a2+b2\(\ge\)2ab (Dấu = xảy ra khi a=b)

a2+d2\(\ge\)2ad(Dấu = xảy ra khi a=d)

c2+b2\(\ge\)2bc(Dấu = xảy ra khi c=b)

c2+d2\(\ge\)2cd(Dấu = xảy ra khi c=d)

=>2(a2+b2+c2+d2)\(\ge\)2(ab+ad+bc+cd)

=>a2+b2+c2+d2\(\ge\)a(b+d)+c(b+d)=(a+c)(b+d)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=d

Mà tứ giác ABCD có a2+b2+c2+d2=(a+c)(b+d)

=>a=b=c=d =>Tứ giác ABCD là hình thoi

b)Gọi O là giao điểm của AC và BD

=>AC vuông góc với BD tại O

Do ABCD là hình thoi =>AC=2AO BD=2BO

=>AC.BD=4AO.BO

=>4AO.BO=ab+cd

Do a=b=c=d=>4AO.BO=2a2

=>2AO.BO=a2(1)

Áp dụng định lí pytago cho tam giác AOB:

\(AO^2+BO^2=AB^2=a^2\)(2)

Từ 1 và 2 =>AO2+BO2-2AO.BO=0

<=>(AO-BO)2=0

=>AO=BO

=>AC=BD

Hình thoi ABCD có 2 đường chéo bằng nhau

=>ABCD là hình vuông =>số đo các góc của tứ giác ABCD bằng nhau và bằng 90o


Các câu hỏi tương tự
hải yến nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Lan Anh
Xem chi tiết
My Phạm
Xem chi tiết
nguyễn viết hùng
Xem chi tiết
vũ quỳnh trang
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Lan Anh
Xem chi tiết
Lê Đức Mạnh
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hằng
Xem chi tiết
Phan Trung Kiên
Xem chi tiết