Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Qua điểm M bất kì kẻ tiếp tuyến d. Qua A, B kẻ AD, BC vuông góc với d. CMR. \(CM^2=AD+BC\)

a) Vì C thuộc tia phân giác Az của \(\widehat{xAy}\) nên CD = CB

Xét \(\Delta CDE\) và \(\Delta CBQ\) có:

\(\widehat{D}=\widehat{B}=90^0\)

ED = QB(gt)

CD = CB (cmt)

=> \(\Delta CDE=\Delta CBQ\left(c.g.c\right)\)

b) Ta có AP + PQ + AQ = AD + AB (gt) (1)

lại có: DP + AP + AQ + QB = AD + AB (2)

Từ (1) và (2) => PQ = DP + BQ

hay PQ = DP + DE = EP (do DE = BQ gt)

Xét \(\Delta ECP\) và \(\Delta QCP\) có

EC = QC ( do \(\Delta CDE=\Delta CBQ\) (câu a) )

EP = PQ (cmt)

PC cạnh chung

=> \(\Delta ECP\) = \(\Delta QCP\) (c.c.c)

=> \(\widehat{P_1}=\widehat{P_2}\)

=> PC là phân giác của \(\widehat{DPQ}\)

c) Tứ giác ADCB có \(\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{B}=90^0\) => \(\widehat{C}=90^0\)

Vì \(\Delta CDE=\Delta CBQ\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)

mà \(\widehat{C_2}+\widehat{DCQ}=90^0\)

=> \(\widehat{C_1}+\widehat{DCQ}=90^0\)

hay \(\widehat{ECQ}=90^0\)

Mặt khác: \(\Delta ECP\) = \(\Delta QCP\) (c.c.c)

=> \(\widehat{PCQ}=\widehat{ECP}=\widehat{\frac{ECQ}{2}}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{2x+y}=3-2x-y\\x^2-2xy-y^2=2\end{matrix}\right.\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=\frac{9}{2}\\xy+\frac{1}{xy}=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Giải phương trình \(\frac{x^3}{\sqrt{16-x^2}}+x^2-16=0\)

giải phương trình: \(\sqrt{2x+3+\sqrt{x+2}}+\sqrt{2x+2-\sqrt{x+2}}=1+2\sqrt{x+2}\)

Cho các số thức x, y thỏa mãn: \(x^2-y^2+xy-x+y+1=0\)

Tính \(x^{2003}-y^{2003}+2013^{x+y}\)

Giải pt: \(8\left(x-3\right)^3+x^3=6x^2-12x+8\)