Question

Cho biểu thức \(A=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-4}\) và \(B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{5\sqrt{x}-8}{2\sqrt{x}-x}\) với \(x>0,x\ne4,x\ne16\)
a) Tính giá trị của A khi \(x=25\)
b) Rút gọn biểu thức B
c) Cho \(P=A.B\) so sánh P với 2 

Answer 1

a) Thay x = 25 vào A ta có:

\(A=\dfrac{25+\sqrt{25}+1}{\sqrt{25}-4}=\dfrac{25+4+1}{5-4}=30\)

b) 

\(B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{5\sqrt{x}-8}{2\sqrt{x}-x}\\ =\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{5\sqrt{x}-8}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{5\sqrt{x}-8}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{x-\sqrt{x}-5\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{x-6\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}\) 

c) \(P=A\cdot B=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-4}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\) 

Xét hiệu: 

\(P-2=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-2=\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{\sqrt{x}}>0\forall x\in\left(đkxđ\right)\)

=> P > 2