Question

Cho B = (n^2 − 1)(n + 3)(n + 5) + 16. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì B luôn có giá trị là số chính phương.

Answer 1

\(B=\left(n-1\right)\left(n+5\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)+16\)

\(=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n+3\right)+16\)

\(=\left(n^2+4n\right)^2-2\left(n^2+4n\right)-15+16\)

\(=\left(n^2+4n-1\right)^2\) là số chính phương

Answer 2

\(B=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left[\left(n-1\right)\left(n+5\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+3\right)\right]+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n+3\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n-5+8\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)^2+8\left(n^2+4n-5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5+4\right)^2\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-1\right)^2\)

Vậy B là số chính phương với mọi số nguyên n