Question

Cho (a+b+c)²=3(ab+bc+ca).Chứng minh a=b=c

 

Answer 1

    (a+b+c)2$\ge$ 3(ab+bc+ca) (*)

=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca$\ge$ 3ab+3bc+3ca

=>a2+b2+c2$\ge$ ab+bc+ca

nhân 2 vào cho 2 vế ta được:

2a2+2b2+2c2$\ge$ 2ab+2bc+2ca

=> (a+b)2+(b+c)2+(c+a)2$\ge$ 0 (đúng)

=> (*) đúng

Answer 2

 (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca) nha - HDT đặc biệt mở rộng

Answer 3

EZ QUÁ BRO:

Ta có: (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

Mà (a+b+c)²=3(ab+bc+ca)

⇒a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)

⇔a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca

⇔a²+b²+c²=ab+bc+ca

⇔2(a²+b²+c²)=2(ab+bc+ca)

⇔2a²+2b²+2c²- 2ab-2bc-2ca=0

⇔(a²- 2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²)=0

⇔(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0

Vì (a-b)²≥0      với mọi a,b

     (b-c)²≥0      với mọi b,c

     (c-a)²≥0      với mọi c,a

⇒ (a-b)²+(b-c)²+(c-a)² ≥ 0

   Dấu "=" xảy ra khi 

a-b=0                            a=b

b-c=0            ⇔             b=c

c-a=0                             c=a    

⇔a=b=c (đpcm)

Answer 4

Ta có: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)( theo đề bài)

⇔a2+b2+c2=ab+bc+ca

⇔2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)

⇔2a2+2b2+2c2- 2ab-2bc-2ca=0

⇔(a2- 2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)=0

⇔(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0

a-b=0                            a=b

b-c=0            ⇔             b=c

c-a=0                             c=a    

⇔a=b=c (đpcm)

cách ngắn hơn :>