Question

Cho △ ABC vuông tại A, có đường cao AH ( H ∈ BC ). Kẻ E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh \(tan^3\) C= \(\frac{BE}{CF}\)

Answer 1

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2;CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(\frac{BA^2}{CA^2}=\frac{BH\cdot CB}{CH\cdot CB}=\frac{BH}{CH}\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(BE\cdot BA=BH^2\)

=>\(BE=\frac{BH^2}{BA}\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(CF\cdot CA=CH^2\)

=>\(CF=\frac{CH^2}{CA}\)

\(\frac{BE}{CF}=\frac{BH^2}{BA}:\frac{CH^2}{CA}\)

\(=\frac{BH^2}{BA}\cdot\frac{CA}{CH^2}=\left(\frac{BH}{CH}\right)^2\cdot\frac{CA}{BA}\)

\(=\left(\frac{AB^2}{BC}:\frac{AC^2}{BC}\right)^2\cdot\frac{AC}{BA}\)

\(=\left(\frac{AB^2}{AC^2}\right)^2\cdot\frac{CA}{AB}=\frac{AB^4}{AC^4}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^3}{AC^3}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3=\tan^3C\)