Question

cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3abc. Tìm maxP:

\(P=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\)

mong mọi người giúp đỡ và chỉ dạy

Answer 1

\(ab+bc+ac=3abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có : \(a^2+1\ge2a\Rightarrow\frac{1}{a^2+1}\le\frac{1}{2a}\)

Tương tự : \(\frac{1}{b^2+1}\le\frac{1}{2b}\) ; \(\frac{1}{c^2+1}\le\frac{1}{2c}\)

Cộng theo vế được :

\(P=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\le\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy maxP = 3/2 tại a = b = c = 1