Em kiểm tra lại đề, đề bài sai
Ví dụ với \(a=1,b=10\)
Đề bài đúng phải là: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+1}+\dfrac{1}{a^2+1}\ge\dfrac{a+b+1}{2}\)
Theo đề của thầy Nguyễn Việt Lâm thì ta có cách làm như sau:
Ta có :
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=a\cdot\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2}\right)=a\cdot\left(1-\dfrac{b^2}{a^2+b^2}\right)\overset{Cosi}{\ge}a\cdot\left(1-\dfrac{b^2}{2ab}\right)=a-\dfrac{b}{2}\)
\(\dfrac{b^3}{b^2+1}=\left(b-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{\left(b-1\right)^2}{2\left(b^2+1\right)}\ge b-\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\overset{Cosi}{\ge}1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)
Cộng 3 cái vào là được nhé
