Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
I Love Hoc24

Cho a,b là các số thực dương. CMR:

\(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}\text{ ≥}2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

Bùi Nhất Duy
18 tháng 3 2017 lúc 20:44

Ta có :\(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}=\left(a+b\right)\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\)

=\(\left(a+b\right)\left(a+\dfrac{1}{4}+b+\dfrac{1}{4}\right)\)

Áp dụng bđt cô si ta có:

a+b\(\ge2\sqrt{ab}\),\(a+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{a},b+\dfrac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)

do đó \(\left(a+b\right)^2+\dfrac{\left(a+b\right)}{2}\ge2\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

Dấu "=" xảy ra khi:a=b=\(\dfrac{1}{4}\)

Vậy với a,b là các số thực dương ta có \(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

Sáng
18 tháng 3 2017 lúc 20:37

\(\left(a+b\right)^2+\dfrac{a+b}{2}=\left(a+b\right)\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left[\left(a+\dfrac{1}{4}\right)\left(b+\dfrac{1}{4}\right)\right]\ge2\sqrt{ab}\left(a+b\right)=2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)


Các câu hỏi tương tự
Hàn Thiên Tử
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Nguyễn Hữu Tuyên
Xem chi tiết
Ngịch ngợm
Xem chi tiết
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết
lê thị tiều thư
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết