Ta có
\(ab\left(a^2+b^2\right)\left(a^2\:-b^2\right)=a^5b\:\:-ab^5\)
\(=a^5b-ab+ab-ab^5\)
\(=ab\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)+5ab\left(a-1\right)\left(a+1\right)-ab\left(b-1\right)\left(b+1\right)\left(b-2\right)\left(b+2\right)-5ab\left(b-1\right)\left(b+1\right)\)
Ta thấy rằng ab(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) và ab(b - 1)(b + 1)(b - 2)(b +2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 30 (1)
Ta lại có: ab(a - 1)(a + 1) và ab(b -1)(b +1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.
\(\Rightarrow\) 5ab(a - 1)(a + 1) và 5ab(b -1)(b +1) chia hết cho 30 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh
Từ đề ra ta có;
ab+(a^2+b^2)(a^2-b^2)=a^5b-ab^5
=a^5b-ab+ab-ab^5
=ab(a+1)(a-1)(a+2)+5ab(a-1)-ab(b-1)(b+1)(b-2)(b+2)-5ab(b-1)(b+1)
