Lời giải:
Để ý rằng:
\(\frac{4a^2+(b-c)^2}{2a^2+b^2+c^2}=\frac{2(2a^2+b^2+c^2)-2(b^2+c^2)+(b-c)^2}{2a^2+b^2+c^2}=2-\frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\)
Biến đổi tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \text{VT}=6-\underbrace{\left[\frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{(c+a)^2}{2b^2+a^2+c^2}+\frac{(a+b)^2}{2c^2+a^2+b^2}\right]}_{N}\)
Ta muốn CM \(\text{VT}\geq 3\Leftrightarrow N\leq 3\) . Thật vậy:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\leq \frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\). Tương tự như vậy:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{(a+c)^2}{2b^2+a^2+c^2}\leq \frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+b^2}\\ \frac{(a+b)^2}{2c^2+a^2+b^2}\leq \frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế thu được \(N\leq \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2}=3\)
CM hoàn tất. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c>0\)
