Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.
Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|
Câu 9.
a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
Câu 11. Tìm các giá trị của x sao cho:
a) |2x – 3| = |1 – x|
b) x2 – 4x ≤ 5
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
Câu 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
Câu 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 9:
\(a,\left(a+1\right)^2\ge4a\\ \Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\\ \Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=1\)
\(b,\) Áp dụng BĐT cosi: \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}\cdot2\sqrt{b}\cdot2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Câu 10:
\(a,\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\\ \Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b\)
\(b,\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\le3a^2+3b^2+3c^2\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(luôn.đúng\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Câu 13:
\(M=\left(a^2+ab+\dfrac{1}{4}b^2\right)-3\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)+\dfrac{3}{4}b^2-\dfrac{3}{2}b+2021\\ M=\left[\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)^2-2\cdot\dfrac{3}{2}\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)+\dfrac{9}{4}\right]+\dfrac{3}{4}\left(b^2-2b+1\right)+2018\\ M=\left(a+\dfrac{1}{2}b-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(b-1\right)^2+2018\ge2018\\ M_{min}=2018\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\dfrac{1}{2}b=\dfrac{3}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\)
Câu 6:
$2=(a+b)(a^2-ab+b^2)>0$
$\Rightarrow a+b>0$
$4(a^3+b^3)-N^3=4(a^3+b^3)-(a+b)^3$
$=3(a^3+b^3)-3ab(a+b)=(a+b)(a-b)^2\geq 0$
$\Rightarrow N^3\leq 4(a^3+b^3)=8$
$\Rightarrow N\leq 2$
Vậy $N_{\max}=2$
Câu 7:
BĐT $\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3-ab(a+b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b,c>0$)
Vậy ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b>0$, $c$ dương bất kỳ.
Câu 8:
$|a+b|> |a-b|$
$\Leftrightarrow |a+b|^2> |a-b|^2$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab> a^2-2ab+b^2$
$\Leftrightarrow 4ab>0$
$\Leftrightarrow ab>0$
$\Leftrightarrow a,b$ cùng dấu.
Câu 9:
a. BĐT $\Leftrightarrow a^2+2a+1\geq 4a$
$\Leftrightarrow a^2-2a+1\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Vậy bđt được cm. Dấu "=" xảy ra khi $a=1$
b. Áp dụng BĐT Cô-si:
$(a+1)(b+1)(c+1)\geq 2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Câu 10:
a. BĐT $\Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2$
$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
b.
BĐT $\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Câu 12:
PT $\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2+d^2)-4a(b+c+d)=0$
$\Leftrightarrow (a^2+4b^2-4ab)+(a^2+4c^2-4ac)+(a^2+4d^2-4ad)+a^2=0$
$\Leftrightarrow (a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+a^2=0$
$\Rightarrow a-2b=a-2c=a-2d=a=0$
$\Rightarrow a=b=c=d=0$
Câu 12:
$2M=2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+4002$
$=(a^2+2ab+b^2)+a^2+b^2-6ab-6b+4002$
$=(a+b)^2-4(a+b)+4+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+3996$
$=(a+b-2)^2+(a-1)^2+(b-1)^2+3996\geq 3996$
$\Rightarrow M\geq 1998$
Vậy $M_{\min}=1998$. Giá trị này đạt tại $a+b-2=a-1=b-1=0$
$\Leftrightarrow a=b=1$
.
.
.
