Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số \( m \) để phương trình \( x^2 - 2mx + 4m - 4 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 = 8 \).
Câu 12: Cho phương trình \( x^2 - 6x - 2m + 3 = 0 \). Tìm \( m \) để phương trình có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 = 20 \).
Câu 12:
\(\Delta=\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m+3\right)\)
=36+8m-12
=8m+24
Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0
=>8m+24>=0
=>m>=-3
Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=6\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-2m+3\end{cases}\)
\(x_1^2+x_2^2=20\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\)
=>\(6^2-2\left(-2m+3\right)=20\)
=>36-2(-2m+3)=20
=>2(-2m+3)=16
=>-2m+3=8
=>-2m=5
=>\(m=-\frac52\) (nhận)
Câu 11:
\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(4m-4\right)\)
\(=4m^2-16m+16=\left(2m-4\right)^2\ge0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm
Theo Vi-et, ta có:
\(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=4m-4\end{cases}\)
\(x_1^2+x_2^2-8=0\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\)
=>\(\left(2m\right)^2-2\left(4m-4\right)=8\)
=>\(4m^2-8m+8=8\)
=>\(4m^2-8m=0\)
=>4m(m-2)=0
=>m(m-2)=0
=>\(\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=2\end{array}\right.\)
câu 11: △ = \(\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(4m-4\right)=4m^2-16m+16=4\cdot\left(m-2\right)^2\ge0\)
vậy phương trình luôn có nghiệm
theo định lý vi et ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\ x_1\cdot x_2=4m-4\end{cases}\)
theo đề ta có: \(x_1^2+x_2^2-8=0\)
\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-8=0\)
\(\left(2m\right)^2-2\cdot\left(4m-4\right)-8=0\)
\(4m^2-8m+8-8=0\)
\(4m^2-8m=0\)
\(4m\left(m-2\right)=0\)
\(\left[\begin{array}{l}4m=0\Rightarrow m=0\\ m-2=0\Rightarrow m=2\end{array}\right.\left(N\right)\)
vậy m = 0 hoặc m = 2
câu 12: △ = \(\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m+3\right)=36+8m-12=8m+24\)
để phương trình có 2 nghiệm thì \(8m+24\ge0\Rightarrow m\ge-3\)
theo vi et ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=6\\ x_1x_2=-2m+3\end{cases}\)
theo đề ta có: \(x_1^2+x_2^2=20\)
\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\)
\(6^2-2\cdot\left(-2m+3\right)=20\)
\(36+4m-6=20\)
30 + 4m = 20
4m = 20 - 30
4m = -10
m = \(-\frac{10}{4}=-\frac52\) (thoả mãn)
vậy m = \(-\frac52\)
