Question

Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f x = x 2 + 2 x + 2 m − 1 x − m  đồng biến trên nửa khoảng 2 ; + ∞  là S = − ∞ ; a b , trong đó a, b là các số nguyên dương và a b  là phân số tối giản. Tính tổng bình phương của a và b.

A. 169

B. 41

C. 89

D. 81

Answer 1

Đáp án C.

Ta có f ' x = x 2 − 2 m x + 1 − 4 m x − m 2 .

Hàm số đồng biến trên 2 ; + ∞  khi và chỉ khi  f ' x ≥ 0, ∀ x ∈ 2 ; + ∞

⇔ m ∉ 2 ; + ∞ x 2 − 2 m x + 1 − 4 m ≥ 0, ∀ x ∈ 2 ; + ∞ ⇔ m < 2 2 m ≤ x 2 + 1 x + 2 , ∀ x ∈ 2 ; + ∞  

Bằng cách khảo sát hàm số y = x 2 + 1 x + 2  trên nửa khoảng 2 ; + ∞ , ta được

min 2 ; + ∞ y = y 2 = 5 4  

 

Vì vậy

2 m ≤ x 2 + 1 x + 2 , ∀ 2 ; + ∞ ⇔ 2 m ≤ min 2 ; + ∞ x 2 + 1 x + 2 = 5 4 ⇔ m ≤ 5 8 .

Suy ra a = 5, b = 8 .

Do đó a 2 + b 2 = 89 .

Vậy phương án đúng là C.