a: Sửa đề: AB=12cm
Ta có: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=20^2-12^2=256=16^2\)
=>AC=16(cm)
Xét ΔABC có BM là phân giác
nên \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CM}{BC}\)
=>\(\dfrac{AM}{12}=\dfrac{CM}{20}\)
=>\(\dfrac{AM}{3}=\dfrac{CM}{5}\)
mà AM+CM=AC=16cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{AM}{3}=\dfrac{CM}{5}=\dfrac{AM+CM}{3+5}=\dfrac{16}{8}=2\left(cm\right)\)
=>\(AM=2\cdot3=6\left(cm\right);CM=5\cdot2=10\left(cm\right)\)
b: Xét ΔBAM vuông tại A và ΔBIM vuông tại I có
BM chung
\(\widehat{ABM}=\widehat{IBM}\)
Do đó: ΔBAM=ΔBIM
=>BA=BI
=>ΔBAI cân tại B
Ta có: \(\widehat{BAI}+\widehat{CAI}=\widehat{BAC}=90^0\)
\(\widehat{BIA}+\widehat{KAI}=90^0\)(ΔKIA vuông tại K)
mà \(\widehat{BAI}=\widehat{BIA}\)(ΔBAI cân tại B)
nên \(\widehat{CAI}=\widehat{KAI}\)
=>AI là phân giác của góc KAC
Xét ΔKAC có AI là phân giác
nên \(\dfrac{IK}{IC}=\dfrac{AK}{AC}\left(1\right)\)
Xét ΔKCA vuông tại K và ΔACB vuông tại A có
\(\widehat{KCA}\) chung
Do đó: ΔKCA~ΔACB
=>\(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AC}{CB}\)
=>\(\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AB}{CB}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{IK}{IC}\)
=>\(\dfrac{AB}{IK}=\dfrac{CB}{IC}\)
