Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm D sao cho O là trung điểm của AD.
a) Chứng minh: tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b) Cho AC = 3cm, AD = 5cm. Tính diện tích tứ giác ABDC.
c) Từ D kẻ DH vuông góc với BC tại H. Lấy điểm E sao cho H là trung điểm của DE. Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AB, đường này cắt BC tại F. Chứng minh: tứ giác EFDB là hình thoi.
d) Chứng minh: CE vuông góc với EB.
a: Xét tứ giác ABDC có
O là trung điểm chung của AD và BC
=>ABDC là hình bình hành
Hình bình hành ABDC có \(\hat{BAC}=90^0\)
nên ABDC là hình chữ nhật
b: ΔACD vuông tại C
=>\(CA^2+CD^2=AD^2\)
=>\(CD^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)
=>CD=4(cm)
ABDC là hình chữ nhật
=>\(S_{ABDC}=AC\cdot CD=3\cdot4=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
c: Ta có: EF⊥AB
DB⊥BA
Do đó: EF//BD
Xét ΔHEF vuông tại H và ΔHDB vuông tại H có
HE=HD
\(\hat{HEF}=\hat{HDB}\) (hai góc so le trong, EF//DB)
Do đó: ΔHEF=ΔHDB
=>EF=DB
Xét tứ giác BEFD có
BD//EF
BD=EF
Do đó: BEFD là hình bình hành
Hình bình hành BEFD có BF⊥ED
nên BEFD là hình thoi
a) Tam giác ABC vuông tại A, O vừa là trung điểm BC vừa là trung điểm AD. Theo tính chất trung điểm cạnh huyền ta có OA = OB = OC. Lại có OA = OD (O là trung điểm AD) nên OB = OC = OA = OD, hay A, B, C, D đều nằm trên một đường tròn tâm O. Trong tứ giác nội tiếp này góc tại A bằng 90°, nên góc tại D cũng bằng 90°. Hình tứ giác có một góc vuông và hai cặp cạnh đối song song (BD song song AC và DC song song AB) nên ABDC là hình chữ nhật.
b) Trong hình chữ nhật ABDC, AD là đường chéo. Theo đề bài AC = 3 cm và AD = 5 cm. Gọi AB = x, theo định lý Pytago ta có AD^2 = AB^2 + AC^2 hay 25 = x^2 + 9. Suy ra x = 4 cm. Diện tích hình chữ nhật ABDC là AB × AC = 4 × 3 = 12 cm².
c) Từ D hạ DH vuông góc BC tại H, lấy E sao cho H là trung điểm DE. Từ E kẻ đường thẳng vuông góc AB cắt BC tại F. Có thể đặt toê độ A(0,0), B(4,0), C(0,3) thì D(4,3). Tính ra H(64/25; 27/25), E(28/25; -21/25) và F(28/25; 54/25). Tính các độ dài EF, FD, DB và BE đều bằng 3 cm nên tứ giác EFDB là hình thoi.
d) Cũng trong hệ toê độ trên, ta có C(0,3), E(28/25; -21/25) và B(4,0). Vectơ CE = (28/25; -96/25) và EB = (72/25; 21/25). Tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0 nên CE vuông góc EB.
