a: Ta có: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên MA=MB=MC
Xét ΔMAC có \(\widehat{AMB}\) là góc ngoài tại M
nên \(\widehat{AMB}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}=2\cdot\widehat{ACB}=2\alpha\)
=>\(sin2\alpha=sinAMB=\dfrac{AH}{AM}=AH:\dfrac{BC}{2}=\dfrac{2AH}{BC}\)
Xét ΔAHC vuông tại H có \(sinC=\dfrac{AH}{AC}\)
Xét ΔABC vuông tại A có \(cosC=\dfrac{AC}{BC}\)
\(2sin\alpha\cdot cos\alpha=2\cdot\dfrac{AH}{AC}\cdot\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2\cdot AH}{BC}\)
Do đó: \(sin2\alpha=2\cdot sin\alpha\cdot cos\alpha\)
b: \(cos2\alpha=cosAMH=\dfrac{HM}{AM}\)
=>\(1+cos2\alpha=1+\dfrac{HM}{AM}=\dfrac{HC}{AM}=\dfrac{2\cdot HC}{BC}=2\cdot\dfrac{AC^2}{BC^2}\)
\(2\cdot cos^2\alpha=2\cdot cos^2C=2\cdot\left(\dfrac{CA}{BC}\right)^2=2\cdot\dfrac{CA^2}{CB^2}\)
Do đó: \(1+cos2\alpha=2\cdot cos^2\alpha\)
c: \(1-cos2\alpha=1-cosAMH=1-\dfrac{HM}{AM}=\dfrac{HB}{AM}=\dfrac{2HB}{BC}=2\cdot\dfrac{AB^2}{BC^2}\)
\(2\cdot sin^2\alpha=2\cdot sin^2ACB=2\cdot\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2\)
Do đó: \(1-cos2a=2\cdot sin^2\alpha\)
