Question

Bài 1 : Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab+bc+ca=1

CM : Q=\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\)        là 1 số hữu tỉ

Answer 1

thay 1 bởi ab+bc+ca

ta có :Q=\(\sqrt{\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)}\)

ta thấy \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

       \(b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

        \(c^2+ab+bc+ca=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

=> Q= \(\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\)=\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)là một số hữu tỉ vì a,c,b là các số hữu tỉ

Answer 2

Với ab + ac + bc = 1
Ta có :
$a2+1=a^2+ab+ac+bc=(a^2+ab)+(ac+bc)$

$=a(a+b)+c(a+b)=(a+c)(a+b)$

Tương tự, ta có:
$b^2+1=(b+a)(b+c)$ 
$c^2+1=(c+a)(c+b)$

Do đó: 
$\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}=\sqrt{(a+c)(a+b)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)}$

$=\sqrt{(a+b{)}^2(a+c{)}^2(b+c{)}^2}=|(a+b)(a+c)(b+c)|$

Do a, b, c là số hữu tỷ, do đó :
$|(a+b)(a+c)(b+c)|$ là số hữu tỷ. (đpcm)