1.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=p=2\\ab+bc+ca=q\le\dfrac{4}{3}\\abc=r\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Schur bậc 4:
\(r\ge\dfrac{\left(4q-p^2\right)\left(p^2-q\right)}{6p}=\dfrac{\left(q-1\right)\left(4-q\right)}{3}\)
\(\Rightarrow\left(1-r\right)q\le\left(1-\dfrac{\left(q-1\right)\left(4-q\right)}{3}\right)q\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(1-\dfrac{\left(q-1\right)\left(4-q\right)}{3}\right)q\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(p-3\right)\left(p-1\right)^2\le0\) (đúng do \(p\le\dfrac{4}{3}\))
Dấu "=" xảy ra khi \(p=1\Rightarrow r=0\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị
3.
Cái chữ n ở câu này khó chịu quá, chỉnh nó thành \(p=\dfrac{\left[a,b\right]}{a+1}+\dfrac{\left[a,b\right]}{b+1}\) cho dễ nhìn
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=dn\\b=dm\end{matrix}\right.\) với \(\left(m,n\right)=1\)
\(\Rightarrow p=\dfrac{dmn}{dm+1}+\dfrac{dmn}{dn+1}\)
\(\Rightarrow p\left(dm+1\right)\left(dn+1\right)=dmn\left(dm+dn+2\right)\)
Do \(\left(dm+1;d\right)=\left(dn+1;d\right)=1\)
\(\Rightarrow p⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=p\end{matrix}\right.\)
- TH1: Nếu \(d=p\Rightarrow\left(dm+1\right)\left(dn+1\right)=mn\left(dm+dn+2\right)\) (1)
Do \(\left(dm+1;m\right)=\left(dn+1;n\right)=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}dm+1⋮n\\dn+1⋮m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}dm+1=an\\dn+1=bm\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{a+d}{ab-d^2}\\n=\dfrac{b+d}{ab-d^2}\end{matrix}\right.\)
Thế vào (1):
\(\Rightarrow ab=\dfrac{2ab+ad+bd}{ab-d^2}\Rightarrow ab\left(ab-d^2\right)=2ab+ad+bd\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ad⋮b\\bd⋮a\end{matrix}\right.\)
Hiển nhiên, từ \(\left\{{}\begin{matrix}dm+1=an\\dn+1=bm\end{matrix}\right.\) ta có a và b đều ko thể chia hết cho d (vì nếu chia hết suy ra 1 chia hết cho d, vô lý do \(d=p\) là SNT)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a⋮b\\b⋮a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b\Rightarrow m=n\Rightarrow m=n=1\) do \(\left(m,n\right)=1\)
\(\Rightarrow p=\dfrac{d}{d+1}+\dfrac{d}{d+1}=\dfrac{2d}{d+1}=\dfrac{2p}{p+1}\Rightarrow p=1\) (loại)
TH2: Nếu \(d=1\)
\(\Rightarrow p\left(m+1\right)\left(n+1\right)=mn\left(m+n+2\right)\) (2)
- Nếu \(m=n\Rightarrow m=n=1\Rightarrow p=1\) ko thỏa mãn
- Nếu \(m\ne n\), ko mất tính tổng quát giả sử \(m>n\)
Từ (2) ta có \(mn\left(m+n+2\right)\) chia hết cho p
+ Nếu \(m+n+2⋮p\Rightarrow\left(m+1\right)\left(n+1\right)⋮m\)
\(\Rightarrow n+1⋮m\Rightarrow n+1\ge m\)
Mà \(n< m\Rightarrow n+1\le m\Rightarrow n+1=m\)
Tương tự \(\left(m+1\right)\left(n+1\right)⋮n\Rightarrow m+1⋮n\Rightarrow n+2⋮n\Rightarrow2⋮n\)
\(\Rightarrow\left(n;m\right)=\left(1;2\right);\left(2;3\right)\) thay vào (2) ko có p thỏa mãn
+ Nếu \(n⋮p\)
mặt khác \(mn\left(m+n+2\right)=\dfrac{m}{2}\left(2mn+2n^2+4n\right)>\dfrac{m}{2}\left(mm+m+n+1\right)\)
\(\Rightarrow p\left(m+1\right)\left(n+1\right)>\dfrac{m}{2}\left(m+1\right)\left(n+1\right)\Rightarrow p>\dfrac{m}{2}>\dfrac{n}{2}\)
Do đó \(n=p\Rightarrow\left(n+1\right)\left(m+1\right)=m\left(m+n+2\right)\)
\(\Rightarrow n+1⋮m\Rightarrow n+1=m\Rightarrow m=0\) (ko thỏa mãn)
+ Nếu \(m⋮p\Rightarrow m=p\Rightarrow\left(p+1\right)\left(n+1\right)=n\left(p+n+2\right)\)
\(\Rightarrow p=n^2+n-1\)
\(\Rightarrow4p+5=4\left(n^2+n-1\right)+5=\left(2n+1\right)^2\)
2.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2x^3-7=m^2\\2x^5-15=n^2\end{matrix}\right.\) (1) với m;n nguyên
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3=\dfrac{m^2+7}{2}\in Q\\x^5=\dfrac{n^2+15}{2}\in Q\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{x^6}{x^5}=\dfrac{\left(x^3\right)^2}{x^5}\in Q\)
Mặt khác:
\(2x^3=m^2+7\Rightarrow\left(2x\right)^3=4\left(m^2+7\right)\) là số nguyên dương chẵn
Mà x là số hữu tỉ \(\Rightarrow2x\) là số nguyên dương chẵn
\(\Rightarrow x\in Z^+\)
Do \(2x^3-7\) lẻ nên m lẻ \(\Rightarrow m=2k+1\)
\(\Rightarrow x^3=2k^2+2k+4\) chẵn nên x nguyên dương chẵn
Khi đó, nhân vế với vế của (1):
\(\left(mn\right)^2=\left(2x^3-7\right)\left(2x^5-15\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(mn\right)^2=4x^8-14x^5-30x^3+105\)
\(\Leftrightarrow\left(2mn\right)^2=16x^8-56x^5-120x^3+420\)
\(\Leftrightarrow\left(2mn\right)^2=\left(4x^4-7x\right)^2-\left(120x^3+49x^2-420\right)\)
Đồng thời:
\(\left(2mn\right)^2=\left(4x^4-7x-1\right)^2+\left(8x^4-120x^3-49x^2-14x+419\right)\)
- Nếu \(x\ge16\Rightarrow120x^3+49x^2-420>0\)
Đồng thời \(8x^4\ge128x^3\ge120x^3+128x^2\)
\(\Rightarrow8x^4-120x^3-49x^2-14x+419\ge79x^2-14x+419>0\)
\(\Rightarrow\left(4x^4-7x-1\right)^2< \left(2mn\right)^2< \left(4x^4-7x\right)^2\)
Nên ko tồn tại m, n thỏa mãn
- Với \(x< 16\), đồng thời x chẵn. Bây giờ chỉ cần lần lượt kiểm tra với \(x=\left\{2;4;6;8;10;12;14\right\}\)
Chỉ có \(x=2\) thỏa mãn
