Question

\(A=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}\left(x\ge0\right)\)

Tìm x để A nguyên

Answer 1

\(A=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}=1+\dfrac{5}{\sqrt{x}+1}\)

Để A nguyên

⇒ \(5⋮\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Còn lại bạn tự xét các trường hợp nha

Answer 2

\(\Leftrightarrow A\left(\sqrt{x}+1\right)=\sqrt{x}+6\Leftrightarrow A\sqrt{x}+A=\sqrt{x}+6\)

\(\Leftrightarrow A\sqrt{x}-\sqrt{x}=6-A\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(A-1\right)=6-A\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{6-A}{A-1}\)

Vì \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\dfrac{6-A}{A-1}\ge0\)

TH1 : \(\left\{{}\begin{matrix}6-A\ge0\\A-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\le6\\A\ge1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow1\le A\le6\)

TH2 : \(\left\{{}\begin{matrix}6-A\le0\\A-1\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\ge6\\A\le1\end{matrix}\right.\)( loại ) 

Với A = 1 => \(\sqrt{x}+1=\sqrt{x}+6\Leftrightarrow1=6\)(vô lí)

Với A = 2 => x = 16 

Với A = 3 => x = 2,25 

Với A = 4 => x \(\approx\)0,444

Với A = 5 => x = 0,0625

Với A = 6 => x= 0 

 

Answer 3

\(A=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+1+5}{\sqrt{x}+1}=1+\dfrac{5}{\sqrt{x}+1}\)

Vì 1 là số nguyên nên để A nguyên thì \(\dfrac{5}{\sqrt{x}+1}\)là số nguyên

Để \(\dfrac{5}{\sqrt{x}+1}\)nguyên thì \(5⋮\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\inƯ\left(5\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\in\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{-6;-2;0;4\right\}\)

Mà \(\sqrt{x}\ge0\)\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;4\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{0;2\right\}\)(TM:x\(\ge0\))

Vậy.....