Question

\(A=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}vàB=\dfrac{2}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{3-5\sqrt{x}}{9-x}\) với x ≥ 0, x ≠ 9

tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P=A.B  nhận giá trị nguyên

Answer 1

\(P=A\cdot B\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\cdot\dfrac{2\sqrt{x}+6+x-3\sqrt{x}+3-5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot\dfrac{x-6\sqrt{x}+9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)^2}{\left(\sqrt{x}-3\right)^2}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

Để P nguyên thì 

\(2\sqrt{x}⋮\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+6-6⋮\sqrt{x}+3\)

=>\(\sqrt{x}+3\inƯ\left(-6\right)\)

=>\(\sqrt{x}+3\in\left\{3;6\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{0;3\right\}\)

=>\(x\in\left\{0;9\right\}\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x=0