Question

22. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của PT: \(3\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x=0\)

23. Giải PT: \(\sqrt{3}\cos x+2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{1}\right)=1\)

 

Answer 1

\(\sqrt{3}cosx+2sin^2\left(\dfrac{x}{2}-\pi\right)=1\) 

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}cosx+2sin^2\dfrac{x}{2}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}cosx-cosx=0\Leftrightarrow cosx=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) ( k thuộc Z )

Vậy ... 

Answer 2

22.

Nhận thấy \(cosx=0\) không phải nghiệm, chia 2 vế cho \(cos^2x\)

\(3tan^2x+2tanx-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}tanx=-1\\tanx=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=arctan\left(\dfrac{1}{3}\right)+k\pi\end{matrix}\right.\)

Nghiệm dương nhỏ nhất của pt là: \(x=arctan\left(\dfrac{1}{3}\right)\)

Answer 3

22. PT đã cho tương đương

3 - 4cos²x + 2 sinxcosx = 0

⇔ 3 - 2 - 2cos2x + sin2x = 0

⇔ 1 - 2cos2x + sin2x = 0

⇔ 1 + sin2x = 2cos2x

⇔ sin\(\dfrac{\pi}{2}\) + sin2x = 2cos2x

⇔ \(2sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right).cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\) = 2cos2x

Do \(\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)+\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=\dfrac{\pi}{2}\) 

⇒ \(sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)\)

Vậy sin²\(\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) = cos2x

Cái này là hiển nhiên ????

 

 

 

 

Answer 4

22 . Dễ thấy : cos x = 0 không t/m

cos x khác 0 : p/t đã cho <=> \(3tan^2x+2tanx-1=0\)  \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}tanx=\dfrac{1}{3}\\tanx=-1\end{matrix}\right.\)  

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=arctan\dfrac{1}{3}+k\pi\\x=\dfrac{-\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\) ( k thuộc Z ) 

x > 0 nên : \(k\pi+arctan\dfrac{1}{3}>0\Leftrightarrow k>\dfrac{-arctan\dfrac{1}{3}}{\pi}\) 

k min = 0 => x = arc tan 1/3 \(\approx18,43\)^o 

\(-\dfrac{\pi}{4}+k\pi>0\Leftrightarrow k-\dfrac{1}{4}>0\Leftrightarrow k>\dfrac{1}{4}\) 

k thuộc Z => k min = 1 \(\Rightarrow x=\dfrac{3}{4}\pi\)  

Suy ra : no dương min là x = 3/4 \(\pi\)  khi k = 1 

Vậy ...