Do `f(x)` chia `x+1` dư 4 nên \(f\left(-1\right)=4\)
Do đa thức chia \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) bậc 3 nên đa thức dư có bậc 2
Do đó \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right).g\left(x\right)+ax^2+bx+c\) (1)
\(=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right).g\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a\)
\(=\left(x^2+1\right).\left[\left(x+1\right).g\left(x\right)+a\right]+bx+c-a\)
Do \(f\left(x\right)\) chia `x^2+1` dư `2x+3` nên `bx+c-a=2x+3`
Đồng nhất hệ số 2 vế: \(\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c-a=3\end{matrix}\right.\) (2)
Thay \(x=-1\) vào (1):
\(f\left(-1\right)=a-b+c\Rightarrow a-b+c=4\) (3)
Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\c=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) chia \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) dư \(\dfrac{3}{2}x^2+2x+\dfrac{9}{2}\)
