Question

1. Tìm a,b ∈ Z⁺(a,b ≠1) để 2^a+3^b là số chính phương

2. Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình:

\(\left(2x+5y+1\right)\left(2020^{\left|x\right|}+y+x^2+x\right)=105\)

3. Tìm x,y,z ∈ Z⁺ t/m: 

\(xy+y-x!=1;yz+z-y!=1;x^2-2y^2+2x-4y=2\)

4. Tìm tất cả các số nguyên tố p;q;r sao cho:

                    p^q+q^p=r

5. Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình:

          \(x^y+y^x+2022=z\)

6. CMR: Với n ∈ N và n>2 thì 2n-1 và 2n+1 không thể đồng thời là 2 số chính phương

Answer 1

Bài 2: Ta có:

\(\left(2x+5y+1\right)\left(2020^{\left|x\right|}+y+x^2+x\right)=105\) là số lẻ

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+5y+1\\2020^{\left|x\right|}+y+x^2+x\end{matrix}\right.\) đều lẻ

\(\Rightarrow y⋮2\)\(\Rightarrow2020^{\left|x\right|}⋮̸2\Leftrightarrow\left|x\right|=0\Leftrightarrow x=0\).

Thay vào tìm được y...

Answer 2

Lúc nãy bận thi online nên giờ mới làm tiếp được, bạn thông cảm.

Bài 4:

Do p; q; r là các SNT nên \(p^q+q^p>2^2+2^2=8\Rightarrow r>8\) nên r là SNT lẻ

Mà r lẻ thì trong 2 số \(p^q;q^p\) phải có 1 số lẻ, một số chẵn.

Do vai trò p; q như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử p lẻ, q chẵn

\(\Rightarrow q=2\). Lúc này ta có:

\(p^2+2^p=r\)

+Xét p=3\(\Rightarrow p^2+2^p=r=17\left(tm\right)\) (Do p lẻ nên loại TH p=2)

+Xét p>3. Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}p^2\equiv1\left(mod3\right)\\2^p\equiv\left(-1\right)^p\equiv-1\left(mod3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow p^2+2^p\equiv1+\left(-1\right)\equiv0\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\left(p^2+2^p\right)⋮3\) mà \(p^2+2^p>3\) nên là hợp số

\(\Rightarrow r\) là hợp số, không phải SNT, loại.

Vậy ta có \(\left(p;q;r\right)\in\left\{\left(3;2;17\right);\left(2;3;17\right)\right\}\) tm đề bài

 

Answer 3

Bài 6: Ta có 1SCP lẻ chia cho 4 dư 1.

Nếu 2n-1 là SCP thì ta có

\(2n-1\equiv1\left(mod4\right)\Leftrightarrow2n+1\equiv3\left(mod4\right)\)

Do đó 2n+1 không là SCP

\(\Rightarrowđpcm\)

Answer 4

Bài 5:

Tương tự bài 4 thì z lẻ nên trong 2 số x, y phải có một số chẵn, một số lẻ.

Không mất tính tổng quát, giả sử x chẵn, y lẻ \(\Rightarrow x=2\). Lúc này ta có:

\(2^y+y^2+2022=z\). Tương tự bài 4, xét y=3 và y>3...

Answer 5

Answer 6

1.

Đặt \(2^a+3^b=c^2\)

- Nếu a lẻ \(\Rightarrow\) vế trái chia 3 dư 2 (ktm) \(\Rightarrow a=2k\)

- Nếu \(b\) lẻ \(\Rightarrow\) vế trái chia 4 dư 3 (ktm) \(\Rightarrow b=2m\)

\(\Rightarrow2^{2k}+3^{2m}=c^2\)

\(\Rightarrow3^{2m}=\left(c-2^k\right)\left(c+2^k\right)\)

- Nếu \(c-2^k\) và \(c+2^k\) đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow c-2^k+c+2^k⋮3\Rightarrow c⋮3\)

\(\Rightarrow c^2⋮3\Rightarrow2^a⋮3\) (vô lý)

\(\Rightarrow c-2^k=1\) và \(c+2^k=3^{2m}\)

\(\Rightarrow3^{2m}-1=2.2^k\Rightarrow\left(3^m-1\right)\left(3^m+1\right)=2^{k+1}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3^m-1=2^x\\3^m+1=2^y\end{matrix}\right.\) với \(y>x\)\(\Rightarrow2^y-2^x=2\Rightarrow2^x\left(2^{y-x}-1\right)=2\)

\(\Rightarrow2⋮2^{y-x}-1\)

Ta có \(2^{y-x}-1\) luôn lẻ với y>x, mà 2 chỉ có 1 ước lẻ duy nhất là 1

\(\Rightarrow2^{y-x}-1=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-x=1\\2^x=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=1\Rightarrow b=2\) 

Đồng thời \(2^{k+1}=3^{2m}-1=8\Rightarrow k=2\Rightarrow c=1+2^k=5\)

\(\Rightarrow2^a+9=25\Rightarrow a=4\)

Vậy \(\left(a;b\right)=\left(4;2\right)\)