Question

1. Tìm a,b ∈ N

\(2^a-2^b=256\)

2.Tìm x,y ∈ Z

\(2020^x+2020^y=2020^{x+y}\)

Answer 1

\(1,\Rightarrow2^b\left(2^{a-b}-1\right)=256=2^8\left(a>b\right)\)

Do \(2^b\) chẵn, \(2^{a-b}-1\) lẻ, \(2^8\) chẵn nên \(2^{a-b}-1=1\Leftrightarrow2^{a-b}=2\Leftrightarrow a-b=1\)

\(\Leftrightarrow2^b\cdot1=2^8\Leftrightarrow b=8\Leftrightarrow a=9\)

Vậy \(\left(a;b\right)=\left(8;9\right)\) 

Answer 2

Bài 1:

Từ đkđb hiển nhiên $a>b\Rightarrow a-b\geq 1$

$2^a-2^b=256$ 

$\Leftrightarrow 2^b(2^{a-b}-1)=256=2^8$

$\Leftrightarrow 2^{a-b}-1=2^{8-b}$

Với $a-b\geq 1$ thì $2^{a-b}$ chẵn, kéo theo $2^{a-b}-1$ lẻ

$\Rightarrow 2^{8-b}$ lẻ. Điều này xảy ra khi $8-b=0$

$\Leftrightarrow b=8$. Khi đó: $2^{a-b}-1=2^0=1$

$\Leftrightarrow 2^{a-b}=2=2^1\Leftrightarrow a-b=1$

$\Leftrightarrow a=b+1=9$ 

Vậy $(a,b)=(9,8)$

Answer 3

Bài 2: Không mất tổng quát giả sử $x\geq y$

$2020^x+2020^y=2020^{x+y}$

$\Leftrightarrow 2020^y(2020^{x-y}+1-2020^x)=0$

$\Leftrightarrow 2020^{x-y}+1-2020^x=0$

$\Rightarrow 2020^x=2020^{x-y}+1>1\Rightarrow x>0$

$\Rightarrow 2020^{x-y}+1\vdots 2020$

$\Rightarrow 2020^{x-y}\not\vdots 2020$

$\Rightarrow x-y=0$. Mà $2020^0+1=2\not\vdots 2020$ nên loại 

Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn.